求 x² · sin(x) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   選 $u$ 時要讓求導把多項式降次。 在 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 中，目標是讓剩下的那個積分更簡單。取 $u=x^{2}$，則 $du=2x\,dx$，次數從 $2$ 降到 $1$；如果反過來取 $u=\sin x$，多項式的次數反而會升高，越搞越糟。這就是 LIATE 口訣的實際用法——該求導的是代數因子。

2. 2

   第一次分部積分。 取 $u=x^{2}$、$dv=\sin x\,dx$（於是 $v=-\cos x$）：

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x-\int\left(-\cos x\right)(2x)\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

   兩個負號——一個來自 $v=-\cos x$，一個來自公式本身——合起來變成正號，符號錯誤通常就是在這裡溜進來的。

3. 3

   對剩下的積分再用一次。 對 $\int x\cos x\,dx$ 取 $u=x$、$dv=\cos x\,dx$，則 $du=dx$、$v=\sin x$：

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$

   多項式的次數已經降到 $0$，過程到此結束——$n$ 次多項式恰好需要 $n$ 輪分部積分。

4. 4

   把各部分拼起來。 把第二步的結果乘上係數 $2$ 再代回：

   $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x,$

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

5. 5

   求導驗證。 對每一項用乘積律：

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{2}\cos x\right)=-2x\cos x+x^{2}\sin x,\quad \frac{d}{dx}\left(2x\sin x\right)=2\sin x+2x\cos x,\quad \frac{d}{dx}\left(2\cos x\right)=-2\sin x.$

   相加之後，$\mp2x\cos x$ 這一對抵消，$\pm2\sin x$ 這一對也抵消，剩下的正是 $x^{2}\sin x$ ✓。在 $x=1.3$ 處數值檢驗，兩邊都得到 $1.6284133$ ✓。