求 −2x − 4 在 x 趨近負無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   把會成長的部分與不會成長的部分分開。 在 $-2x-4$ 裡只有 $-2x$ 這一項跟 $x$ 有關；$-4$ 是個固定的數。所以整個式子在 $-\infty$ 處的行為完全由 $-2x$ 決定。

2. 2

   小心追蹤正負號。 說 $x\to-\infty$，意思是 $x$ 取的是絕對值愈來愈大的負數。一個很大的負數乘上負係數 $-2$ 會得到一個很大的正數，所以

   $-2x\to+\infty$

   這個正負號的翻轉就是整道題的全部內容：直覺上那句「$x\to-\infty$ 所以函數也跟著往下」在這裡是錯的。

3. 3

   把常數加回來。 從一個已經越過任何界線在成長的量裡減掉固定的 $4$，並不會讓它停止成長：

   $-2x-4\to+\infty-4=+\infty$

4. 4

   用數值確認。 在 $x=-100$：$-2(-100)-4=196$。在 $x=-10000$：$19996$。在 $x=-10^6$：$1999996$。函數值一路上升，沒有任何上限，正如所預測。

5. 5

   寫下答案與一般規則。 極限是 $+\infty$——函數發散，所以沒有有限的極限值。一般而言，對 $ax+b$ 來說，當 $a<0$ 時 $x\to-\infty$ 的極限是 $+\infty$，當 $a>0$ 時是 $-\infty$；這裡 $a=-2<0$。