把積分次序改成先對 y、再對 x、最後對 z，求 dz dy dx 的三重積分，其中 z 從 0 到 3 − 3x − y、y 從 0 到 3(1 − x)、x 從 0 到 1。

Step-by-step solution

1. 1

   用不等式而不是上下限來描述這個立體。 由內而外讀出三組上下限：

   $0\le z\le 3-3x-y,\qquad 0\le y\le 3-3x,\qquad 0\le x\le 1.$

   三者可以合併成單一個對稱的描述

   $x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad 3x+y+z\le 3,$

   這是一個頂點為 $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(0,3,0)$、$(0,0,3)$ 的四面體。

2. 2

   替新次序挑出最外層的變數。 題目要求的次序是 $dy\,dx\,dz$，所以 $z$ 在最外層。把四面體投影到 $z$ 軸上得到 $0\le z\le 3$。

3. 3

   固定 z，找出 x 的範圍。 固定住 $z$ 之後，切片是 $\{3x+y\le 3-z,\ x,y\ge 0\}$。取 $y=0$ 會得到最寬的 $x$：

   $0\le x\le \frac{3-z}{3}.$

4. 4

   固定 z 與 x，再讀出 y。 由 $3x+y\le 3-z$，

   $0\le y\le 3-z-3x,$

   所以重排後的積分是

   $\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{(3-z)/3}\int_{y=0}^{3-z-3x}dy\,dx\,dz.$

5. 5

   由內而外逐層計算。 內層積分得到 $3-z-3x$。接著

   $\int_{0}^{(3-z)/3}\left(3-z-3x\right)dx=\left[(3-z)x-\tfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{(3-z)/3}=\frac{(3-z)^{2}}{3}-\frac{(3-z)^{2}}{6}=\frac{(3-z)^{2}}{6}.$

   最後

   $\int_{0}^{3}\frac{(3-z)^{2}}{6}\,dz=\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{3}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.$

6. 6

   用幾何檢查。 被積函數是 $1$，所以答案就是三條互相垂直的邊長為 $1$、$3$、$3$ 的四面體體積：

   $V=\frac{1}{6}(1)(3)(3)=\frac{3}{2}.$

   兩條路徑一致，確認重排做對了。