求 a·y″ + b·y = 0 的通解，其中 a 與 b 都是常數且 a 不為零。

Step-by-step solution

1. 1

   先把方程式標準化。 兩邊同除以 $a$（因為 $a \ne 0$ 所以合法），得到

   $y'' + \frac{b}{a}y = 0$

   真正起作用的只有 $\tfrac{b}{a}$ 這一個比值——$a$ 與 $b$ 各自的數值以後再也不會出現。

2. 2

   寫出特徵方程式。 代入 $y = e^{rx}$ 並消去不為零的 $e^{rx}$：

   $r^2 + \frac{b}{a} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{b}{a}$

   式子裡沒有 $r$ 的一次項，因為原方程式沒有 $y'$ 項——這就是無阻尼的情形，所以根不是純虛數就是純實數，不會兩者兼具。

3. 3

   情形 b/a > 0：純虛根。 此時 $r = \pm i\sqrt{b/a}$，而

   $y = C_1\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right) + C_2\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right)$

   這是角頻率 $\omega = \sqrt{b/a}$ 的簡諧運動——質量–彈簧方程式 $m\ddot y + ky = 0$ 正是這種情形。

4. 4

   情形 b/a < 0：兩個實根。 此時 $r = \pm\sqrt{-b/a}$，而

   $y = C_1e^{\sqrt{-b/a}\,x} + C_2e^{-\sqrt{-b/a}\,x}$

   一個解成長、一個解衰減；等價地也可寫成 $y = A\cosh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right) + B\sinh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right)$。

5. 5

   情形 b = 0：零的重根。 方程式塌縮成 $y'' = 0$，其解就是直線

   $y = C_1x + C_2$

   這是 $r = 0$ 的重根情形，兩個獨立解分別是 $e^{0x} = 1$ 與 $xe^{0x} = x$。

6. 6

   驗證其中一種情形。 取 $a = 2$、$b = 8$ 得 $\tfrac{b}{a} = 4$，於是 $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$。代入 $y = \cos 2x$：$y'' = -4\cos 2x$，所以 $2(-4\cos 2x) + 8\cos 2x = 0$。正確。