計算 x/(x² + y²) 在拋物線 2y = x² 與直線 y = x 所圍區域 D 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   先找出兩條曲線的交點。 由 $2y=x^2$ 得 $y=\tfrac{x^2}{2}$。令 $\tfrac{x^2}{2}=x$ 得 $x^2-2x=0$，所以 $x=0$ 或 $x=2$；交點為 $(0,0)$ 與 $(2,2)$。

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   判斷哪一條在上面。 在 $x=1$ 處直線給出 $y=1$，拋物線給出 $y=\tfrac12$，可見直線是上邊界。於是區域為 $0\le x\le 2,\qquad\frac{x^2}{2}\le y\le x.$

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   先對 $y$ 積分。 把 $x$ 當成常數， $\int\frac{x\,dy}{x^2+y^2}=\arctan\frac{y}{x}.$ 選 $y$ 當內層變數，正是讓分子那個 $x$ 派上用場的關鍵。

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   代入上下限。 在 $y=x$ 處，反正切的引數是 $1$；在 $y=\tfrac{x^2}{2}$ 處則是 $\tfrac{x}{2}$。於是 $I=\int_0^2\left(\arctan 1-\arctan\frac{x}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}-\int_0^2\arctan\frac{x}{2}\,dx.$

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   剩下的積分用分部積分處理。 令 $u=\tfrac{x}{2}$ 後它變成 $2\int_0^1\arctan u\,du$，而 $\int\arctan u\,du=u\arctan u-\tfrac12\ln(1+u^2)$，於是得到 $2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\ln 2.$

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   合併起來。 $I=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\ln 2\right)=\ln 2\approx 0.693147,$ 這與直接對 $\int_0^2\left(\tfrac{\pi}{4}-\arctan\tfrac{x}{2}\right)dx$ 做數值積分的結果一致。