計算 √(2x − x²) 與 1 − y 的最大值在正方形 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

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   把根號認出來其實是圓。 配方得 $2x-x^2=1-(x-1)^2$，所以 $\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 是以 $(1,0)$ 為圓心的上半單位圓。在 $0\le x\le 1$ 上它由 $0$ 升到 $1$。

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   做代換把圖形移到中心。 令 $u=1-x$ 與 $v=1-y$。雅可比行列式的絕對值為 $1$，而正方形映到自己，所以積分變成 $\iint_{[0,1]^2}\max\left\{\sqrt{1-u^2},\,v\right\}du\,dv$。

3. 3

   沿著四分之一圓把正方形分割。 兩個候選值在 $v=\sqrt{1-u^2}$ 時相等，那就是四分之一圓。在它下方根號勝出，在它上方 $v$ 勝出。在那裡分割正是拿掉 max 的辦法。

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   把下方那塊積起來。 對每個 $u$，$v$ 從 $0$ 跑到 $\sqrt{1-u^2}$，被積函數是常數 $\sqrt{1-u^2}$，貢獻 $\int_0^1\left(1-u^2\right)du=1-\frac13=\frac23$。

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   把上方那塊積起來。 對每個 $u$，$v$ 從 $\sqrt{1-u^2}$ 跑到 $1$，被積函數為 $v$，得到 $\int_0^1\frac{1-\left(1-u^2\right)}{2}du=\int_0^1\frac{u^2}{2}du=\frac16$。

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   相加並驗算。 總和是 $\frac23+\frac16=\frac56$。對原本的被積函數用 $4000\times4000$ 格的中點法會回傳 $0.83333333$，與 $\frac56$ 相符。