求 x + 2y + 3z 在第一卦限中由 x + y + z = 1 圍成的四面體上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   描述這個區域。 平面 $x+y+z=1$ 與 $x,y,z\ge0$ 一起圍出單位四面體，頂點在原點以及 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$。切片後得到累次積分的上下限

   $0\le z\le1,\qquad0\le y\le1-z,\qquad0\le x\le1-y-z$

   所以這個積分就是 $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-z}\!\!\int_{0}^{1-y-z}(x+2y+3z)\,dx\,dy\,dz$。

2. 2

   用線性拆開，而不是硬積這個和。

   $\iiint_{E}(x+2y+3z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+2\iiint_{E}y\,dV+3\iiint_{E}z\,dV$

   每一塊現在都是單一變數的一次矩，而且它們之間由對稱性互相關聯。

3. 3

   善用區域的對稱性。 這個四面體在 $x$、$y$、$z$ 的任意置換之下完全對稱——交換任兩個座標都會把它映回自己。因此

   $\iiint_{E}x\,dV=\iiint_{E}y\,dV=\iiint_{E}z\,dV$

   所以三個積分裡只需要算一個。

4. 4

   算出這個共同的值。 先對 $x$ 在 $0\le x\le1-y-z$ 上積分，得到 $\tfrac{(1-y-z)^{2}}{2}$，再把它在三角形 $y+z\le1$ 上積分，得到

   $\iiint_{E}x\,dV=\frac{1}{24}$

   （在 $240\times240$ 的格點上做數值檢查得 $0.0416659$，對照 $\tfrac1{24}=0.0416667$ ✓。）另外交叉驗證：三者之和等於 $\displaystyle\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\tfrac{3}{24}=\tfrac18$，與四面體的體積 $\tfrac16$ 及座標和的平均值 $\tfrac34$ 一致。

5. 5

   組出加權後的總和。

   $\frac{1}{24}+2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{24}=\frac{1+2+3}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

   答案是 $\tfrac14$。注意權重 $1,2,3$ 只透過它們的和發生作用——這是對稱性的直接後果，也是動手硬算三個累次積分之前值得先找對稱性的好理由。