求 √(36x² + 7x + 49) − 6x 在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   辨認不定型。 當 $x\to\infty$ 時平方根的行為像 $\sqrt{36x^2}=6x$，所以這個式子是兩個都會爆掉的量之差：

   $\sqrt{36x^2+7x+49}\to\infty,\qquad 6x\to\infty\;\Longrightarrow\;\infty-\infty$

   這種形式本身沒有值；你不能因為「兩者都像 $6x$ 一樣成長」就斷定是 $0$，因為真正重要的是修正項之差。

2. 2

   乘上共軛式。 遇到根號減一次項，標準做法是同乘同除這兩塊的和：

   $\sqrt{A}-6x=\frac{\left(\sqrt A-6x\right)\left(\sqrt A+6x\right)}{\sqrt A+6x}=\frac{A-36x^2}{\sqrt A+6x},\qquad A=36x^2+7x+49$

   分子的根號完全不見了：

   $A-36x^2=7x+49$

3. 3

   分子分母同除以 $x$。 對 $x>0$ 可以寫成 $\sqrt{36x^2+7x+49}=x\sqrt{36+\tfrac{7}{x}+\tfrac{49}{x^2}}$，所以

   $\frac{7x+49}{\sqrt{36x^2+7x+49}+6x}=\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}$

   從根號裡提出 $x$ 時取 $+x$（而不是 $-x$），只因為 $x\to+\infty$ 才成立；若是 $x\to-\infty$，正負號會翻過來，答案也會完全不同。

4. 4

   逐塊取極限。 每一個 $\tfrac{1}{x}$ 項都會消失：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}=\frac{7}{\sqrt{36}+6}=\frac{7}{12}$

5. 5

   用數值與一般規則檢查合理性。 代入很大的值：在 $x=10^4$ 時該式是 $0.583739$，在 $x=10^6$ 時是 $0.583337$，收斂到 $\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ $\checkmark$。另外有個值得記住的捷徑：對 $\sqrt{a^2x^2+bx+c}-ax$（其中 $a>0$），極限永遠是 $\tfrac{b}{2a}$，這裡就是 $\tfrac{7}{2\cdot 6}=\tfrac{7}{12}$。