計算 (sin 4x + cos 2x)/(4x − π) 在 x 趨近 π/4 時的極限。
拖放或 點擊 以新增圖片
計算
limx→π4sin4x+cos2x4x−π\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 4x+\cos 2x}{4x-\pi}limx→4π4x−πsin4x+cos2x
檢查形式。 在 x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π 時上面得到 sinπ+cosπ2=0+0=0\sin\pi+\cos\frac{\pi}{2}=0+0=0sinπ+cos2π=0+0=0，下面得到 π−π=0\pi-\pi=0π−π=0，所以形式是 00\frac{0}{0}00。
把變數平移到原點。 令 x=π4+tx=\frac{\pi}{4}+tx=4π+t，其中 t→0t\to 0t→0。分母變成 4t4t4t，這是最容易拿來當除數的形式。
改寫分子。 sin4x=sin(π+4t)=−sin4t\sin 4x=\sin(\pi+4t)=-\sin 4tsin4x=sin(π+4t)=−sin4t 而 cos2x=cos(π2+2t)=−sin2t\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2tcos2x=cos(2π+2t)=−sin2t，所以分子是 −sin4t−sin2t-\sin 4t-\sin 2t−sin4t−sin2t。
除以 ttt。 這個商等於 −sin4tt−sin2tt4\frac{-\frac{\sin 4t}{t}-\frac{\sin 2t}{t}}{4}4−tsin4t−tsin2t，而由標準極限 sinktt→k\frac{\sin kt}{t}\to ktsinkt→k 可知分子趨近 −4−2=−6-4-2=-6−4−2=−6。
收尾。 極限是 −64=−32\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}4−6=−23。把上下各微分一次（羅必達法則）得到 4cos4x−2sin2x4→−4−24\frac{4\cos 4x-2\sin 2x}{4}\to\frac{-4-2}{4}44cos4x−2sin2x→4−4−2，是同一個值。
數值檢查。 在 x=π4+10−7x=\frac{\pi}{4}+10^{-7}x=4π+10−7 時原式算出 −1.5000000-1.5000000−1.5000000，確認了 −32-\frac{3}{2}−23。
−32-\frac{3}{2}−23
Need to solve a different problem like this? Open the solver →