求 ln(e^x + x) / (x² + 1) 在 x 趨近正無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   不要把和的對數拆開。 $\ln(e^x+x)$ 不等於 $\ln e^x+\ln x$。合法的做法是在對數內部把主導項提出來，再對所得到的乘積使用 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$。

2. 2

   在對數裡把主導項 $e^{x}$ 提出來。 對很大的 $x$，$e^x$ 遠遠壓過 $x$，所以

   $e^{x}+x=e^{x}\left(1+xe^{-x}\right)$

   因而

   $\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+xe^{-x}\right)=x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)$

3. 3

   說明修正項可以忽略。 由於指數贏過多項式，$xe^{-x}\to 0$，因此

   $\ln\left(1+xe^{-x}\right)\to\ln 1=0$

   所以分子是 $x$ 再加上一個會消失的量：它成長的速度恰好就是 $x$，不會更快。

4. 4

   比較兩者的成長速度。 這個商變成

   $\frac{x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)}{x^{2}+1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

   一次的分子配上二次的分母，永遠趨近零。

5. 5

   寫出極限並用數值確認。

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x^{2}+1}=0$

   在 $x=100$ 時值是 $0.009999$，在 $x=500$ 時是 $0.002000$——$x$ 加倍值就減半，正是所預測的 $1/x$ 衰減。