一質點沿直線運動，速度為 v(t) = t² + t 公尺每秒。求它在 t = 1 到 t = 2 秒之間的位移。

Step-by-step solution

1. 1

   把位移與速度連起來。 在 $[a,b]$ 上的位移就是定積分 $\int_a^b v(t)\,dt$；這是位置的淨變化量，也正是 $v=\frac{ds}{dt}$ 的反向敘述。

2. 2

   檢查速度的正負。 在 $[1,2]$ 上 $t^2$ 與 $t$ 都是正的，所以整段區間都有 $v(t)>0$。質點不曾反向，這表示位移與總路徑長在此處相同。

3. 3

   寫出積分式。 位移 $=\displaystyle\int_1^2\left(t^2+t\right)dt$。

4. 4

   求反導函數。 $\int\left(t^2+t\right)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}$。

5. 5

   在端點代值。 在 $t=2$：$\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$。在 $t=1$：$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。相減得 $\frac{28}{6}-\frac{5}{6}=\frac{23}{6}$。

6. 6

   寫出帶單位的答案。 位移是 $\frac{23}{6}\approx 3.833$ 公尺，而對 $t^2+t$ 在 $[1,2]$ 上做數值積分也重現出 $3.8333$。