計算 (√(3 + x) − √3)/x 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   確認是不定型。 在 $x=0$ 時分子是 $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$，分母是 $0$，形成 $\frac{0}{0}$。光靠代入沒辦法把事情做完。

2. 2

   選有理化而不是因式分解。 障礙是兩個平方根的差，所以分子分母同乘共軛式 $\sqrt{3+x}+\sqrt{3}$。這是利用 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 把上面的根號除掉。

3. 3

   化簡分子。 $\left(\sqrt{3+x}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=(3+x)-3=x$，所以這個商變成 $\frac{x}{x\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{3}\right)}$。

4. 4

   約掉 $x$ 這個因式。 對 $x\neq 0$ 它等於 $\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3}}$，而極限只檢視 $0$ 附近的值，從來不看 $0$ 本身。

5. 5

   代入 $x=0$。 化簡後的式子在該點是連續的，把分母有理化之後得到 $\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

6. 6

   用數值檢查。 在 $x=10^{-8}$ 的差商算出 $0.288675$，而 $\frac{\sqrt{3}}{6}=0.2886751$——吻合到小數第六位。