解微分方程式 dy/dx = ((2y + 3)/(4x + 5))^2，並以隱式形式給出通解。

Step-by-step solution

1. 1

   在挑方法之前先確認方程式可分離。 把商平方之後，$y$ 的部分與 $x$ 的部分仍然各自留在獨立的因子裡：

   $\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}},$

   這正好是 $y'=g(y)h(x)$ 的形式。不需要積分因子——它對 $y$ 並不是線性的，所以在這裡搬出線性常微分方程式那一套只會失敗。

2. 2

   分離變數。 除以 $(2y+3)^{2}$ 再乘上 $dx$：

   $\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.$

   除以 $(2y+3)^{2}$ 會讓你丟掉常數解 $y=-\tfrac32$，而它確實滿足原方程式（$y'=0$，且右邊是 $0$）。它是通解族之外的奇異解，所以現在就先把它記下來。

3. 3

   用代換 $u=2y+3$ 積出 $y$ 那一側。 此時 $du=2\,dy$，所以 $dy=\tfrac{du}{2}$，於是

   $\int\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(2y+3)}.$

   因子 $\tfrac12$ 來自連鎖律；忘掉它是線性代換型積分裡最常見的單一錯誤。

4. 4

   用 $v=4x+5$ 以同樣方式積出 $x$ 那一側。 這裡 $dv=4\,dx$，所以

   $\int\frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\frac14\int v^{-2}\,dv=-\frac{1}{4v}=-\frac{1}{4(4x+5)}.$

   前面的常數是 $\tfrac14$，因為內層導數是 $4$，符合 $\int f(ax+b)\,dx=\tfrac1a F(ax+b)$ 這個模式。

5. 5

   合併並把常數吸收進去。 讓兩個反導函數相等，並加上一個任意常數：

   $-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.$

   乘上 $-2$ 再把常數重新命名，就得到更清爽的隱式形式

   $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C,$

   因為 $\dfrac{2}{4(4x+5)}=\dfrac{1}{2(4x+5)}=\dfrac{1}{8x+10}$。

6. 6

   用隱函數微分驗證。 把 $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C$ 對 $x$ 微分：

   $-\frac{2y'}{(2y+3)^{2}}=-\frac{8}{(8x+10)^{2}}=-\frac{8}{4(4x+5)^{2}},$

   所以 $y'=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}}$ ✓。取 $C=0.3$，在 $x=1$ 處做數值抽查：由隱式解算出 $y'=0.09765625$，由右邊也得到 $0.09765625$。