用二重積分求 y = 4x − x² 與直線 y = x 之間區域的面積。

Step-by-step solution

1. 1

   先求兩條曲線的交點。 令 $4x-x^{2}=x$ 得到 $3x-x^{2}=0$，也就是 $x(3-x)=0$，所以兩者相交於 $x=0$ 與 $x=3$。因為那裡 $y=x$，交點就是 $(0,0)$ 與 $(3,3)$。這兩個值成為積分外層的上下限。

2. 2

   判斷哪一條在上方。 取區間內一點測試：在 $x=1$ 時拋物線給出 $4(1)-1^{2}=3$，而直線給出 $1$。所以在整個 $0<x<3$ 上拋物線都在直線上方，區域是 $R=\left\{(x,y):0\le x\le 3,\ x\le y\le 4x-x^{2}\right\}.$

3. 3

   把面積寫成二重積分。 面積就是常數 $1$ 在該區域上的二重積分，配合上面的垂直條狀描述可寫成 $A=\iint_R 1\,dA=\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy\,dx .$

4. 4

   先做內層積分。 把 $1$ 對 $y$ 積分，量出來的就是條狀的高度：$\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy=(4x-x^{2})-x=3x-x^{2},$ 這正是單變數面積問題裡熟悉的「上減下」被積函數。

5. 5

   再做外層積分。 $A=\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$ 被積函數 $3x-x^{2}$ 在 $[0,3]$ 上非負，所以答案是正的，這也符合面積本來就該為正的要求。