解偏微分方程式 dC/dt = D * d2C/dx2 - k*C。

Step-by-step solution

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   從這兩項讀出物理意義。 $D\,C_{xx}$ 是一般的擴散，$-kC$ 則是一階衰減：物質一邊擴散開來，一邊以與現存量成正比的速率消失。這兩種機制彼此獨立，暗示解應該可以分解成「衰減部分乘上擴散部分」。

2. 2

   做一個把衰減剝掉的代換。 令

   $C(x,t)=e^{-kt}u(x,t)$

   則 $C_{t}=e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)$ 且 $C_{xx}=e^{-kt}u_{xx}$，因為那個指數並不依賴 $x$。

3. 3

   代入並約掉。 方程式變成

   $e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)=De^{-kt}u_{xx}-ke^{-kt}u$

   除以 $e^{-kt}$（它永遠不為零）得到 $u_{t}-ku=Du_{xx}-ku$，兩邊的 $-ku$ 互相抵消：

   $u_{t}=Du_{xx}$

   衰減項被精確地消掉了——不是近似地消掉——所以熱傳導方程式所有已知的解都能直接搬過來。

4. 4

   用分離變數法解這個化簡後的問題。 寫成 $u=X(x)T(t)$ 並除以 $XT$：

   $\frac{T'}{T}=D\frac{X''}{X}=-\lambda$

   於是 $T(t)=e^{-\lambda t}$ 且 $X''+\dfrac{\lambda}{D}X=0$。當 $\lambda>0$ 時這給出 $X=A\cos\sqrt{\lambda/D}\,x+B\sin\sqrt{\lambda/D}\,x$；容許的 $\lambda$ 由邊界條件決定。

5. 5

   組出一般的分離變數解。 把代換還原回去，

   $C(x,t)=e^{-kt}\sum_{n}\left(A_{n}\cos\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x+B_{n}\sin\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x\right)e^{-\lambda_{n}t}$

   其中係數 $A_{n},B_{n}$ 由初始分布 $C(x,0)$ 決定。

6. 6

   檢查極限情形是否合理。 若 $k=0$，代換是平凡的，方程式就是單純的熱傳導方程式 ✓。若 $D=0$，這個偏微分方程式化成 $C_{t}=-kC$，它的解 $C=C_{0}e^{-kt}$ 正是代換在 $u$ 為常數時所預測的 ✓。每一個模態都以合成後的速率 $k+\lambda_{n}$ 衰減，所以衰減與擴散在指數上就只是相加。