計算 (x − 9)/(√x − 3) 在 x 趨近 9 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   檢查形式。 在 $x=9$ 時分子是 $0$，分母是 $3-3=0$，所以這是 $\frac{0}{0}$。

2. 2

   把 $x$ 看成一個平方。 對 $x>0$ 有 $x=\left(\sqrt{x}\right)^2$，所以 $x-9=\left(\sqrt{x}\right)^2-3^2$，這是以 $\sqrt{x}$ 為變數的平方差。

3. 3

   把分子因式分解。 $x-9=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)$。第一個因式正好就是分母，所以根本不必乘共軛式。

4. 4

   約分。 對 $x\neq 9$，這個商化簡成 $\sqrt{x}+3$，而它在 $x\ge 0$ 上是連續函數。

5. 5

   代入。 $\sqrt{9}+3=3+3=6$。

6. 6

   注意這裡的捷徑。 乘上共軛式 $\sqrt{x}+3$ 也會得到同樣的化簡；認出平方差只是省下一行工夫而已。