計算從 0 到 1 的積分 ∫ (ln x)⁴ · ln(1 − x) / (x(1 − x)) dx。

Step-by-step solution

1. 1

   把核拆成兩個標準部分。 用部分分式得 $\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac1{1-x}$，於是 $I=I_1+I_2$，其中 $I_1=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{x}\,dx,\qquad I_2=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{1-x}\,dx .$ 兩半要用不同的級數展開，這也正是那種把 $x\mapsto 1-x$ 的樸素對稱性論證在這裡行不通的原因。

2. 2

   第一半用對數級數求。 利用 $\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n}$ 以及標準的動差公式 $\int_0^1 x^{n-1}\ln^{4}x\,dx=\frac{4!}{n^{5}}=\frac{24}{n^{5}}$，得 $I_1=-\sum_{n\ge1}\frac{1}{n}\cdot\frac{24}{n^{5}}=-24\zeta(6).$

3. 3

   第二半用調和數的生成函數求。 這裡 $\frac{\ln(1-x)}{1-x}=-\sum_{n\ge1}H_n x^{n}$，且 $\int_0^1 x^{n}\ln^{4}x\,dx=\frac{24}{(n+1)^{5}}$，所以 $I_2=-24\sum_{n\ge1}\frac{H_n}{(n+1)^{5}} .$ 令 $m=n+1$ 平移下標，並用 $H_{m-1}=H_m-\frac1m$，可化為 $I_2=-24\left(\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}-\zeta(6)\right).$

4. 4

   把兩半加起來。 $\zeta(6)$ 項相消：$I=I_1+I_2=-24\zeta(6)-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}+24\zeta(6)=-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}} .$ 至此，全部問題歸結為一個線性歐拉和。

5. 5

   套用歐拉關於線性和的公式。 在 $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{s}}=\left(1+\frac{s}{2}\right)\zeta(s+1)-\frac12\sum_{k=1}^{s-2}\zeta(k+1)\zeta(s-k)$ 中取 $s=5$，得 $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}=\frac72\zeta(6)-\zeta(2)\zeta(4)-\frac12\zeta(3)^{2}.$ 因此 $I=-84\zeta(6)+24\zeta(2)\zeta(4)+12\zeta(3)^{2}$。

6. 6

   化成閉式並做數值檢驗。 利用 $\zeta(6)=\frac{\pi^{6}}{945}$ 與 $\zeta(2)\zeta(4)=\frac{\pi^{2}}{6}\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{6}}{540}$，$\pi^{6}$ 項合併為 $-\frac{4}{45}\pi^{6}+\frac{2}{45}\pi^{6}=-\frac{2}{45}\pi^{6}$，於是 $I=12\zeta(3)^{2}-\frac{2\pi^{6}}{45}$。數值上等於 $-25.389119\ldots$，而對原積分做雙指數求積也回傳 $-25.389119\ldots$。