計算 |xy − 1/4| 在單位正方形 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出絕對值變號的那條曲線。 被積函數恰好在 $xy=\tfrac14$ 上變號，也就是 $y=\dfrac{1}{4x}$。在單位正方形內，這條分支只有在 $\dfrac{1}{4x}\le1$ 時才看得見，也就是 $x\ge\tfrac14$ 的時候。當 $x<\tfrac14$ 時整條鉛直切片都滿足 $xy\le x<\tfrac14$，所以那裡不需要分割。

2. 2

   處理簡單的長條 $0\le x\le\tfrac14$。 這裡 $\left|xy-\tfrac14\right|=\tfrac14-xy$，所以

   $\int_0^1\left(\frac14-xy\right)dy=\frac14-\frac{x}{2}$

   $I_1=\int_0^{1/4}\left(\frac14-\frac{x}{2}\right)dx=\frac{1}{16}-\frac{1}{64}=\frac{3}{64}$

3. 3

   當 $\tfrac14\le x\le1$ 時，在 $a=\dfrac{1}{4x}$ 處把每條切片分割。 在 $a$ 之下被積函數是 $\tfrac14-xy$，在其之上是 $xy-\tfrac14$。利用 $\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{16x}$ 與 $\dfrac{xa^2}{2}=\dfrac{1}{32x}$，這兩塊分別是 $\dfrac{1}{32x}$ 與 $\dfrac{x}{2}-\dfrac14+\dfrac{1}{32x}$，所以每條切片貢獻

   $\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}$

4. 4

   把切片的貢獻對 $x$ 積分。

   $I_2=\int_{1/4}^{1}\left(\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}\right)dx=\frac{15}{64}-\frac{3}{16}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}$

   $\dfrac{1}{16x}$ 這一項是對數的唯一來源 —— 它是跨越雙曲線邊界積分時留下的印記。

5. 5

   把各塊加起來並做數值驗證。

   $I=\frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{32}+\frac{\ln2}{8}$

   數值上是 $0.09375+0.0866434=0.1803933976$。在單位正方形上用 $3000\times3000$ 的中點格點法得到 $0.1803933889$ —— 吻合到小數點後七位，這正是格點法處理帶折點的被積函數時預期的精度 ✓。