分析函數 f(x) = e^(−αx)·cos(x)：求它在 0 的函數值、振盪的週期、包絡線，以及 α 的正負如何改變它的行為。

Step-by-step solution

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   把函數拆成振幅因子與振盪因子。 拿它和一般的阻尼振盪 $Ae^{-\alpha x}\cos(kx + \phi)$ 對照：這裡 $A = 1$、$k = 1$、$\phi = 0$。指數部分掌管振幅有多大，餘弦部分掌管振盪有多快。兩個因子各司其職，互不影響。

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   求它在原點的值。

   $f(0) = e^{0}\cos(0) = 1 \times 1 = 1$

   所以不論 $\alpha$ 取什麼值，曲線都是從它可能的最大振幅出發。

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   求振盪的週期。 零點與極值點的分布形態每當 $\cos x$ 重複一次就重複一次，所以

   $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$

   嚴格說起來，除非 $\alpha = 0$，否則這個函數本身並不是週期函數——形態會重複，但大小不會。

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   推導包絡線。 因為 $-1 \le \cos x \le 1$ 而且 $e^{-\alpha x} > 0$，整個不等式乘上去之後方向不變：

   $-e^{-\alpha x} \le e^{-\alpha x}\cos x \le e^{-\alpha x}$

   所以圖形被夾在 $y = e^{-\alpha x}$ 與 $y = -e^{-\alpha x}$ 之間，並在 $x = n\pi$ 處輪流碰到上下兩條線。

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   依 α 的正負分成三種情況討論。 若 $\alpha > 0$，則當 $x \to \infty$ 時 $e^{-\alpha x} \to 0$，振盪會衰減到零，也就是欠阻尼的情形。若 $\alpha = 0$，函數就恰好是 $\cos x$，沒有阻尼，是真正的週期函數。若 $\alpha < 0$，包絡線會不斷放大，振盪隨之發散。

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   檢查曲線與包絡線的接觸點。 在 $x = 0$：$f = 1$，而上包絡線是 $e^0 = 1$——兩者相切。在 $x = \pi$：$\cos\pi = -1$，所以 $f(\pi) = -e^{-\alpha\pi}$，碰到下包絡線。若取 $\alpha = 0.2$，就得到 $f(\pi) = -0.533488$，而且每隔半個週期，相鄰的極值都以固定比值 $e^{-0.2\pi} = 0.533488$ 縮小——這正是指數衰減的招牌特徵。