計算 sin x − cos y 在正方形 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2π 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把被積函數拆成兩塊互相獨立的部分。 積分具有線性，而區域是上下限皆為常數的矩形，所以

   $\iint(\sin x-\cos y)\,dA=\iint \sin x\,dA-\iint\cos y\,dA.$

   每一塊都只依賴一個變數，於是兩塊都變成一維積分的乘積。

2. 2

   計算第一塊。 因為 $\sin x$ 不含 $y$，對 $y$ 積分就只是乘上長度 $2\pi$：

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=2\pi\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(-1+1)=0.$

3. 3

   用同樣的方式計算第二塊。

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dy=2\pi\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(0-0)=0.$

4. 4

   合併。

   $\iint_{[0,2\pi]^{2}}(\sin x-\cos y)\,dA=0-0=0.$

5. 5

   說明為什麼這是必然的。 邊長 $2\pi$ 恰好是 $\sin$ 與 $\cos$ 的一個完整週期，而任何正弦型函數在整個週期上的積分都是零 —— 正的與負的兩個隆起面積相等。任何長度為 $2\pi$ 的區間都會給出同樣的答案；若上下限改成 $0$ 到 $\pi$，正弦那一項就會改為貢獻 $2\pi\cdot 2=4\pi$。