求當 x 趨於 0 時 (1 − cos x)/(1 − e^x) 的極限。

Step-by-step solution

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   先確認它確實是 $\tfrac{0}{0}$ 型。 在 $x=0$ 處上下都為零：$1-\cos 0=0$，$1-e^{0}=0$。所以這個商是未定型，必須做些工作——一個常見的錯誤直覺是答 $1$，理由是「兩個都同時趨於零」，可它們並不同步：它們趨於零的速度不一樣。

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   用馬克勞林展開比較速度。 各保留首項：

   $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad 1-e^{x}=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots$

   分子關於 $x$ 是二階的，分母卻只有一階。這個階數上的落差已經足以說明極限是 $0$。

3. 3

   把主要部分相除。

   $\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=\frac{\frac{x^2}{2}\left(1-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)}{-x\left(1+\frac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{x}{2}\cdot\frac{1+O\!\left(x^2\right)}{1+O(x)}\longrightarrow 0$

   括號裡的兩個因子都趨於 $1$，所以整個式子在 $0$ 附近的行為就像 $-\tfrac{x}{2}$。

4. 4

   用羅必達法則驗證。 對分子分母各求一次導：

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{-e^{x}}=\frac{0}{-1}=0$

   這裡求一次就夠了，因為求導之後形式變成 $\tfrac{0}{-1}$，已經不再是未定型。再用第二次就錯了——只有在形式仍為未定型時才允許使用該法則。

5. 5

   數值上檢查兩側的行為。 取 $x=10^{-3}$，商是 $-0.00049975$；取 $x=10^{-5}$，商是 $-5.00\times 10^{-6}$；取 $x=-10^{-5}$，商是 $+5.00\times 10^{-6}$。這些值從相反的兩側趨向 $0$，與線性近似 $-\tfrac{x}{2}$ 一致，因此雙側極限是

   $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=0$