計算 x² + y² 在區域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   在矩形上列出累次積分。 上下限都是常數，代表積分次序無關緊要，所以寫成 $\int_0^1\int_0^1\left(x^2+y^2\right)dy\,dx$。

2. 2

   把被積函數拆成兩個單變數的部分。 $\iint(x^2+y^2)\,dA=\iint x^2\,dA+\iint y^2\,dA$。每一塊都能分離，因為區域本身就是兩個區間的乘積。

3. 3

   算第一塊。 $\int_0^1 x^2\,dx\cdot\int_0^1 dy=\frac13\cdot 1=\frac13$。

4. 4

   第二塊用對稱性。 把 $x$ 與 $y$ 的角色互換，正方形映到自己，而第二個被積函數也變成第一個，所以同樣有 $\iint y^2\,dA=\frac13$。看出這個對稱性，就省下重算一遍的工夫。

5. 5

   兩份貢獻相加。 值為 $\frac13+\frac13=\frac23\approx 0.6667$。

6. 6

   數值檢驗。 在單位正方形上做適應性數值積分得到 $0.66666667$，與 $\frac23$ 相符。