求 (x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4) 在 x 趨近 −4 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先代入，判定這是哪一類極限。 分子：$(-4)^2+5(-4)+4=16-20+4=0$。分母：$(-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$。形式是 $\tfrac00$，代表共同因式 $(x+4)$ 藏在兩邊。

2. 2

   把分子因式分解。 乘積為 $4$、和為 $5$ 的兩個數是 $1$ 與 $4$：$x^2+5x+4=(x+1)(x+4).$

3. 3

   把分母因式分解。 乘積為 $-4$、和為 $3$ 的兩個數是 $4$ 與 $-1$：$x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$

4. 4

   約掉共同的因式。 對 $x\ne-4$，$\frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}.$ 這樣約分是合法的，因為極限從不在那一點本身求函數值。

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   代入化簡後的形式。 $\lim_{x\to-4}\frac{x+1}{x-1}=\frac{-4+1}{-4-1}=\frac{-3}{-5}=\frac35.$ 把 $x=-4.001$ 與 $x=-3.999$ 代進原本的商，得到 $0.60008$ 與 $0.59992$，如預期般把 $0.6$ 夾在中間。