計算 5 y^(2/5) 對 y 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常數提到積分符號外。 數字因子可以直接穿過積分符號：

   $\int 5y^{2/5}\,dy=5\int y^{2/5}\,dy$

2. 2

   套用積分的冪次法則。 當 $n\neq -1$ 時：

   $\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C$

   這裡 $n=\tfrac25$，離被排除的 $-1$ 遠得很，法則可以放心用。

3. 3

   指數加 1。 通分到分母 $5$：

   $\frac{2}{5}+1=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5}$

   $\int y^{2/5}\,dy=\frac{y^{7/5}}{7/5}$

4. 4

   除以一個分數等於乘它的倒數。 除以 $\tfrac75$ 就是乘 $\tfrac57$：

   $5\cdot\frac{5}{7}y^{7/5}=\frac{25}{7}y^{7/5}$

   所以反導函數是 $\tfrac{25}{7}y^{7/5}+C$。

5. 5

   求導驗回去。 導數必須還原成被積函數：

   $\frac{d}{dy}\left(\frac{25}{7}y^{7/5}\right)=\frac{25}{7}\cdot\frac{7}{5}y^{2/5}=5y^{2/5}\qquad\checkmark$

   數值上取 $y=2$，導數是 $5\cdot 2^{0.4}\approx 6.5975$，與對反導函數做數值差商的結果一致 $\checkmark$。