求曲線 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶ 的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   把 $y$ 視為 $x$ 的未知函數。 隱函數微分的意思，就是對兩邊同時對 $x$ 微分，同時記得每個 $y$ 其實都是 $y(x)$。因此每微分一次 $y$，就會留下一個 $\dfrac{dy}{dx}$ 因子——這個因子正是整套方法之所以行得通的原因。

2. 2

   混合項用乘積律微分。 $20x^{20}y$ 是兩個依賴 $x$ 的因子的乘積：

   $\frac{d}{dx}\left(20x^{20}y\right)=20\left(20x^{19}y+x^{20}\frac{dy}{dx}\right)=400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}$

   只微分冪次、只寫出 $400x^{19}y$，是這裡最典型的錯誤。

3. 3

   微分純 $y$ 的項與等號右邊。

   $\frac{d}{dx}\left(y^{8}\right)=8y^{7}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(33-30x^{6}\right)=-180x^{5}$

   常數 $33$ 沒有任何貢獻。

4. 4

   把微分後的方程式組起來。

   $400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}+8y^{7}\frac{dy}{dx}=-180x^{5}$

5. 5

   把含 $\frac{dy}{dx}$ 的項收到同一邊並提出公因式。

   $\left(20x^{20}+8y^{7}\right)\frac{dy}{dx}=-180x^{5}-400x^{19}y$

   之所以永遠提得出來，是因為 $\frac{dy}{dx}$ 只出現一次方——多項式關係式的隱函數微分，對 $\frac{dy}{dx}$ 永遠是線性的。

6. 6

   相除並化簡。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{-180x^{5}-400x^{19}y}{20x^{20}+8y^{7}}=\frac{-45x^{5}-100x^{19}y}{5x^{20}+2y^{7}}$

   數值檢查：在 $x=0.9$ 處曲線給出 $y=1.38685$，而公式回傳 $-2.2271533$，與隱含定義的 $y(x)$ 的數值導數吻合到小數點後九位 ✓。答案同時含有 $x$ 與 $y$ 是合理的，隱函數導數通常就是這樣。