求 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x 的導函數，再計算它在區間 [0, 3] 上的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   用乘冪法則逐項微分。 因為 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ 且微分具有線性，每一項都可以單獨處理：

   $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right)=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2$

   所以

   $f'(x)=3x^2-6x+2$

2. 2

   為積分找一個反導函數。 把乘冪法則反過來用：指數各加一再除以新指數：

   $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

   這裡刻意省略積分常數：在定積分裡它會在相減時消掉，所以任取一個反導函數就好。順手檢查：$F'(x)=x^3-3x^2+2x=f(x)$。

3. 3

   套用微積分基本定理。

   $\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

   $F(3)=\frac{81}{4}-27+9=\frac{81}{4}-18=\frac{81-72}{4}=\frac{9}{4}$

   $F(0)=0$

   所以積分等於 $\dfrac{9}{4}=2.25$。

4. 4

   注意這是有向面積，不是總面積。 因式分解後 $f(x)=x(x-1)(x-2)$，所以曲線在 $x=0,1,2$ 處穿過 $x$ 軸：在 $(0,1)$ 為正、在 $(1,2)$ 為負、在 $(2,3)$ 又為正。定積分是把這些部分帶正負號相加，所以它比曲線與 $x$ 軸之間的幾何面積來得小。

5. 5

   在根的位置切開驗算。 用同一個 $F$：

   $\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\frac14,\qquad \int_1^2 f=F(2)-F(1)=0-\frac14=-\frac14,\qquad \int_2^3 f=F(3)-F(2)=\frac94-0=\frac94$

   相加：$\tfrac14-\tfrac14+\tfrac94=\tfrac94$，與第三步一致。（若題目要的是不帶正負號的面積，那會是 $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac94=\tfrac{11}{4}$。）