求 ln(n)/n² 從 n = 1 到無窮大的無窮級數和。

Step-by-step solution

1. 1

   先確立收斂性。 與 $\sum n^{-3/2}$ 比較：當 $n$ 夠大時 $\ln n<n^{1/2}$，所以 $\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$。既然 $\sum n^{-3/2}$ 收斂（$p=\tfrac32>1$），題目給的級數就絕對收斂。$n=1$ 那一項是 $\ln 1=0$，所以實際上是從 $n=2$ 開始加。

2. 2

   把 zeta 函數放進和號裡微分。 當 $\Re(s)>1$ 時，

   $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

   而 $\dfrac{d}{ds}n^{-s}=\dfrac{d}{ds}e^{-s\ln n}=-\ln n\cdot n^{-s}$。這裡可以逐項微分，因為微分後的級數在 $\Re(s)\ge1+\delta$ 上均勻收斂。

3. 3

   讀出這個恆等式。 因此

   $\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}=-\zeta'(s)$

   代 $s=2$ 就得到封閉形式 $-\zeta'(2)$。它沒有初等的表示式：$\zeta'(2)$ 與 Glaisher-Kinkelin 常數有關，不是單靠 $\pi$ 和 $\ln 2$ 就寫得出來的。

4. 4

   取得一個真的可信的數值。 直接相加收斂得太慢（$N$ 之後的尾巴大約是 $(\ln N+1)/N$）。把前 $200{,}000$ 項加起來，再用 Euler-Maclaurin 估計式 $\dfrac{\ln N+1}{N}-\dfrac{f(N)}{2}-\dfrac{f'(N)}{12}$ 修正尾端，得到

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}=0.9375482543$

5. 5

   獨立檢查數量級。 已知值 $\zeta'(2)=-0.93754825431584\ldots$ 與算出的和吻合到十位數 ✓。粗略的合理性界限也成立：光是前四個非零項就給出 $\tfrac{\ln2}{4}+\tfrac{\ln3}{9}+\tfrac{\ln4}{16}+\tfrac{\ln5}{25}=0.4464$，剩下的正尾巴再把總和推高到 $0.9375$ 附近 ✓。