有多少個整數 m 使函數 f(x) = (mx − 4)/(x − m) 在區間 (0, 正無限大) 上遞增？

Step-by-step solution

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   用商的微分法求導，注意分子會塌掉。

   $f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}$

   含 $x$ 的項互相消掉，所以 $f'$ 的分子是常數。這是 $\frac{ax+b}{cx+d}$ 的普遍性質：它的導數符號由 $ad-bc$ 決定，在同一支上永不改變。

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   把 $f'$ 的正負轉成對 $m$ 的條件。 只要 $f$ 有定義，分母 $(x-m)^2$ 就是正的，所以

   $f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.$

   端點必須排除、不能包含：$m=\pm2$ 會讓 $f'\equiv0$，而 $f$ 確實塌成常數 $2$ 或 $-2$（例如 $m=2$ 給出 $\frac{2x-4}{x-2}=2$），那不是遞增。

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   再加上「區間必須落在同一支裡」的條件。 導數為正只能證明函數在定義域的每個連通片段上上升。點 $x=m$ 是垂直漸近線，如果它落在 $(0,+\infty)$ 裡，函數會在那裡從 $+\infty$ 跳到 $-\infty$，於是在整個區間上就不是遞增。因此還需要

   $m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.$

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   用 $m=1$ 看清失敗的樣子。 此時 $f(x)=\frac{x-4}{x-1}$，而 $f(0.5)=7$、$f(2)=-2$。導數在 $x=1$ 兩側都是正的，函數跨過漸近線後卻下降 —— 這正是那個額外條件要攔下的陷阱。

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   把兩個條件取交集。

   $-2<m<2\quad\text{and}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0$

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   數整數個數。 $(-2,\,0]$ 裡的整數是 $m=-1$ 與 $m=0$，所以共有 $\mathbf{2}$ 個。順手驗 $m=0$：$f(x)=-\frac{4}{x}$，在 $(0,\infty)$ 上從 $-\infty$ 往 $0$ 上升 —— 確實遞增。