計算 −2x − 2y + 2 在區域 1 ≤ x ≤ 2、x ≤ y ≤ 3 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   積分之前先把區域畫出來。 條件 $1\le x\le 2$ 與 $x\le y\le 3$ 描述一個梯形長條：在橫座標 $x$ 處的鉛直切片從直線 $y=x$ 往上到直線 $y=3$，長度為 $3-x$，隨著 $x$ 由 $1$ 走到 $2$ 而從 $2$ 縮到 $1$。因為下限依賴 $x$，在這個順序下必須先做 $y$ 的積分。

2. 2

   固定 $x$，先對 $y$ 積分。

   $\int_x^3\left(-2x-2y+2\right)dy=\left[-2xy-y^2+2y\right]_{y=x}^{y=3}$

   在上端 $y=3$ 得到 $-6x-9+6=-6x-3$。在下端 $y=x$ 得到 $-2x^2-x^2+2x=-3x^2+2x$。

3. 3

   小心地相減。 下端的值是整體被減掉，所以它裡面每一個正負號都要翻轉：

   $(-6x-3)-\left(-3x^2+2x\right)=3x^2-8x-3$

   這裡正是最常出錯的地方 —— 漏掉 $-3x^2$ 前面的負號，最終答案就會變成正的。

4. 4

   把得到的單變數函數積分。

   $\int_1^2\left(3x^2-8x-3\right)dx=\left[x^3-4x^2-3x\right]_1^2=(8-16-6)-(1-4-3)=-14-(-6)=-8$

5. 5

   說明為什麼負的答案是對的。 被積函數 $2-2x-2y$ 在幾乎整個區域上都是負的：在這個長條上 $x\ge 1$ 且 $y\ge 1$，所以 $2-2x-2y\le 2-2-2=-2<0$。一個在區域上處處為負的函數，其積分必定為負，所以 $-8$ 的正負號正確。它的大小也合理：區域面積為 $\int_1^2(3-x)dx=\tfrac32$，被積函數的平均值為 $-8/1.5\approx -5.3$，落在它實際的值域 $-8$ 到 $-2$ 之間。