求 n 趨於無窮大時 (2ⁿ + (−7)ⁿ) 除以 (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   比較絕對值，找出主導項。 兩個底數的大小分別是 $|2|=2$ 與 $|-7|=7$。因為 $7>2$，當 $n$ 增大時 $(-7)^n$ 會把 $2^n$ 完全壓過去——正負交替的符號並不影響誰更大。

2. 2

   把平移了一位的次方各分出一個因子。 改寫分母，使兩項的指數與分子對齊：

   $2^{n+1}=2\cdot 2^{n},\qquad (-7)^{n+1}=(-7)\cdot(-7)^{n}.$

3. 3

   分子分母同時除以主導項。 記 $r=\dfrac{2}{-7}$，於是 $\dfrac{2^{n}}{(-7)^{n}}=r^{n}$：

   $\frac{2^{n}+(-7)^{n}}{2\cdot 2^{n}-7\cdot(-7)^{n}}=\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}.$

4. 4

   讓這個小比值趨於零。 因為 $|r|=\tfrac27<1$，當 $n\to\infty$ 時 $r^{n}\to 0$——它的符號會正負交替，但按等比的速度衰減，所以極限總歸是 $0$。

5. 5

   讀出極限。

   $\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}=\frac{0+1}{0-7}=-\frac{1}{7}.$

6. 6

   用精確分數驗算。 用精確分數計算原式：$n=10$ 時是 $-0.14285781$，$n=11$ 時是 $-0.14285695$，而 $n=50$、$51$、$200$、$201$ 時都是 $-0.142857142857$——隨著 $n$ 的奇偶交替，它從兩側收斂到 $-\tfrac17=-0.142857\ldots$。