求 x 在由圓錐 x 平方等於 y 平方加 z 平方、與拋物面 x 等於 y 平方加 z 平方所圍成的立體上的三重積分。

Step-by-step solution

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   善用對稱性：兩個曲面對 $y$ 與 $z$ 的依賴都只透過 $y^2+z^2$。 令

   $r^2=y^2+z^2$

   則圓錐變成 $x^2=r^2$、拋物面變成 $x=r^2$。這個立體是繞 $x$ 軸的旋轉體，所以自然的座標是繞著那條軸（而不是平常的 $z$ 軸）包起來的圓柱座標。

2. 2

   設定旋轉後的圓柱座標。 取

   $y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad x=x$

   其中 $r\ge 0$、$0\le\theta\le 2\pi$。Jacobian 與平常一樣，所以

   $dV=r\,dx\,dr\,d\theta$

   忘了那個多出來的 $r$ 因子，是這裡的經典錯誤。

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   找出兩個曲面的交會處。 所圍區域位於 $x\ge 0$，那裡圓錐是 $x=r$。把兩者相等：

   $r=r^2\qquad\Longrightarrow\qquad r(r-1)=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=0\ \text{ 或 }\ r=1$

   所以這個立體落在 $yz$ 平面上 $0\le r\le 1$ 的圓盤之上，兩條曲線在原點與 $x=1$ 處交會。

4. 4

   判斷哪個曲面是下邊界。 對 $0<r<1$ 有 $r^2<r$，所以拋物面 $x=r^2$ 位於圓錐 $x=r$ 的左側。因此對固定的 $(r,\theta)$，變數 $x$ 從 $r^2$ 跑到 $r$：

   $\iiint_E x\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_{r^2}^{r} x\,r\,dx\,dr\,d\theta$

5. 5

   先對 $x$ 積分，再對 $r$ 積分。 內層積分是

   $\int_{r^2}^{r}x\,r\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^{r}=\frac{r^3-r^5}{2}$

   接著

   $\int_0^1\frac{r^3-r^5}{2}\,dr=\frac{1}{2}\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$

6. 6

   用角度積分收尾。 被積函數不含 $\theta$，所以最後一次積分只是乘上一整圈：

   $\int_0^{2\pi}\frac{1}{24}\,d\theta=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$

   $\boxed{\iiint_E x\,dV=\frac{\pi}{12}\approx 0.2618}$

   在同一個區域上做數值黎曼和得到 $0.26180$，印證了結果。因為整個立體上都有 $x\ge 0$，答案為正也在意料之中。