計算 (x² cos(x/2) + 1/2) 乘上 √(4 − x²) 從 x = −2 到 x = 2 的定積分，並給出數值。

Step-by-step solution

1. 1

   在加號處把積分拆開。 這兩塊的性質完全不同：

   $I=\underbrace{\int_{-2}^{2}x^{2}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx}_{J}+\frac12\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

   先分開處理，才不會把一個初等的面積和一個真正需要特殊函數的積分混在一起。

2. 2

   用幾何方法算掉容易的那一半。 在 $[-2,2]$ 上 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 的圖形是半徑為 $2$ 的圓的上半部，所以

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{\pi(2)^{2}}{2}=2\pi,\qquad \frac12(2\pi)=\pi.$

3. 3

   認出 $J$ 是一個 Bessel 矩。 卜瓦松積分表示式給出（其中 $z=ab$）

   $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\cos(bx)\,dx=\frac{\pi a}{b}J_{1}(ab).$

   對 $b$ 微分兩次會把 $-x^{2}$ 帶下來，所以取 $a=2$、$b=\tfrac12$、$z=1$，再配合恆等式 $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}J_{1}\bigr)=-z^{-1}J_{2}$ 與 $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}J_{2}\bigr)=-z^{-2}J_{3}$，得到

   $J=\pi a^{4}\left(\frac{J_{2}(z)}{z^{2}}-\frac{J_{3}(z)}{z}\right)=16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr).$

4. 4

   用遞迴關係換個寫法。 因為 $J_{3}(1)=4J_{2}(1)-J_{1}(1)$，同一個量也可以寫成

   $J=16\pi\bigl(J_{1}(1)-3J_{2}(1)\bigr).$

   代入 $J_{1}(1)=0.4400506$ 與 $J_{2}(1)=0.1149035$ 就得到 $J=16\pi(0.0953401)=4.7923177$。

5. 5

   把兩半加起來。

   $I=\pi+16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr)=3.1415927+4.7923177=7.9339103.$

   對原被積函數做高精度數值積分會得到 $7.933910333308135$，兩者吻合到十五位。一條常見的錯誤路徑是寫成 $J=8\pi J_{2}(1)-4\pi J_{1}(1)$，它算出來是 $-2.6420$，會給出 $I\approx 0.4996$——正負號和數量級都錯了，因為那個組合根本不是卜瓦松公式對 $b$ 的二階導數。