計算 x² − 8y 在區域 D = {−2 ≤ x ≤ −1, 0 ≤ y ≤ 1} 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出這是一個各項可分離的矩形。 在上下限皆為常數的矩形上，和的積分可以拆成積分的和，而這裡每一項都只含單一變數，因此各自變成一維積分的乘積。

2. 2

   把被積函數拆開。 $\iint_D\left(x^2-8y\right)dA=\iint_D x^2\,dA-8\iint_D y\,dA$。分開處理兩塊，可以避免在同一個原函數裡同時拖著兩個變數。

3. 3

   先算 x² 那一塊。 $\int_{-2}^{-1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{-1}=\frac{-1}{3}-\frac{-8}{3}=\frac73$，而 $\int_0^1 dy=1$，所以這一塊貢獻 $\frac73$。注意即使 $x$ 是負的，$x^2$ 仍然保持為正。

4. 4

   再算 −8y 那一塊。 $\int_{-2}^{-1}dx=1$ 且 $\int_0^1 y\,dy=\frac12$，所以這一塊貢獻 $-8\cdot 1\cdot\frac12=-4$。

5. 5

   合併。 $\frac73-4=\frac{7-12}{3}=-\frac53\approx -1.6667$。出現負號是意料中的事：$-8y$ 這一項壓過了在這個矩形上絕不超過 $4$ 的 $x^2$，而 $8y$ 可以達到 $8$。

6. 6

   數值檢驗。 在同一個矩形上做適應性數值積分得到 $-1.6666667$，與 $-\frac53$ 相符。