計算 θ 從 0 到 x、r 從 0 到 1/2 的二重積分，被積函數為 r³ sinθ cosθ 加上三分之一 r² sinθ 的絕對值。

Step-by-step solution

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   先把絕對值裡的式子因式分解。 $r^3\sin\theta\cos\theta+\frac13r^2\sin\theta = r^2\sin\theta\left(r\cos\theta+\frac13\right).$ 先分解，才能不必對 $r$ 做分類討論就定出符號。

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   判定在定義域上的符號。 $r^2\ge0$ 恆成立。當 $0\le\theta\le x\le\tfrac{\pi}{2}$ 時有 $\sin\theta\ge0$ 且 $\cos\theta\ge0$，所以 $r\cos\theta+\tfrac13\ge\tfrac13>0$。每個因子都非負，因此絕對值可以拿掉。（若 $x>\tfrac{\pi}{2}$，括號在 $r\cos\theta<-\tfrac13$ 時可能變負，題目就得分成幾種情況討論。）

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   把 theta 視為常數，先對 r 積分。 $\int_0^{1/2}r^3\,dr = \frac{1}{64},\qquad \int_0^{1/2}r^2\,dr = \frac{1}{24},$ 所以內層積分為 $\frac{\sin\theta\cos\theta}{64}+\frac{\sin\theta}{72},$ 這裡用到 $\tfrac13\cdot\tfrac1{24} = \tfrac1{72}$。

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   把第一塊對 theta 積分。 令 $u=\sin\theta$， $\int_0^x\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin^2x}{2},$ 所以這一塊貢獻 $\dfrac{\sin^2x}{128}$。

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   再積第二塊。 $\int_0^x\sin\theta\,d\theta = 1-\cos x,$ 貢獻 $\dfrac{1-\cos x}{72}$。

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   合併並檢驗。 $\int_0^x\!\!\int_0^{1/2}\left|\cdots\right|dr\,d\theta = \frac{\sin^2x}{128}+\frac{1-\cos x}{72}.$ 取 $x=1.1$ 時，封閉形式給出 $0.0137940252$，而對原本含絕對值的被積函數做巢狀數值積分同樣得到 $0.0137940252$——吻合到小數點後十位。在 $x=0$ 處兩邊都是 $0$，理應如此。