解微分方程式 dy/dx = ky，其中 k 是常數。

Step-by-step solution

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   認出這個模型。 這個方程式說的是變化率與當下的量成正比——它就是人口成長、放射性衰變、連續複利與牛頓冷卻背後的定律。把它解一次，等於把這些全部都解掉了。

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   分離變數。 除以 $y$ 需要 $y \ne 0$，我們先記下這一點，稍後再回頭處理：

   $\frac{dy}{y} = k\,dx$

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   兩邊積分。

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C_0$

   絕對值是必要的，因為在零的兩側，$\tfrac{1}{y}$ 的反導函數都是 $\ln|y|$。

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   取指數並把常數吸收進去。

   $|y| = e^{kx + C_0} = e^{C_0}e^{kx}$

   寫 $A = e^{C_0} > 0$，並讓 $y$ 的正負號由允許 $C = \pm A$ 來承擔，這就變成

   $y = Ce^{kx}$

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   把被排除掉的解找回來。 除以 $y$ 排除了 $y \equiv 0$，但那個常數函數確實滿足方程式——而且只要令 $C = 0$ 就能取回它。所以只要允許 $C$ 取任意實數，$y = Ce^{kx}$ 就是完整的通解，什麼都沒漏掉。

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   驗證並讀出它的行為。 微分得 $y' = Cke^{kx} = k\left(Ce^{kx}\right) = ky$。若給定初始條件 $y(0) = y_0$，則 $C = y_0$，於是 $y = y_0e^{kx}$：$k > 0$ 時成長、$k < 0$ 時衰減、$k = 0$ 時是常數。當 $k > 0$ 時，倍增時間是 $\tfrac{\ln 2}{k}$。