計算疊積分：被積函數為 2cos(theta)sin(theta)/r^2 乘上 r dr，r 從 root(cos theta sin theta) 到 1，theta 從 0 到 pi/2。

Step-by-step solution

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   先化簡被積函數。 極座標的面積元素本身就提供了因子 $r$，所以它抵掉分母的一個冪次：

   $\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}\cdot r=\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\sin2\theta}{r}$

   這裡用了倍角公式 $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$。出現 $\tfrac1r$ 這種被積函數，就是對數即將登場的信號。

2. 2

   做 $r$ 的內層積分。 固定 $\theta$ 時分子是常數：

   $\int_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}\frac{\sin2\theta}{r}\,dr=\sin2\theta\Big[\ln r\Big]_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}=-\sin2\theta\,\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$

   因為 $\ln1=0$。下限小於 $1$，所以它的對數是負的，整個式子因此為正。

3. 3

   用倍角公式改寫對數。 因為 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$，

   $-\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}=-\tfrac12\ln\!\left(\tfrac12\sin2\theta\right)=-\tfrac12\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)$

   所以剩下的積分是

   $I=-\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)d\theta$

4. 4

   代換 $u=2\theta$。 由 $d\theta=\tfrac{du}{2}$，且 $u$ 從 $0$ 跑到 $\pi$：

   $I=-\frac14\left[\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du-\ln2\int_{0}^{\pi}\sin u\,du\right]$

5. 5

   用上兩個標準積分。 初等的那個是 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=2$。含對數的那個是經典結果

   $\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du=2\ln2-2$

   把兩者代進去：

   $I=-\frac14\left[(2\ln2-2)-2\ln2\right]=-\frac14(-2)=\frac12$

6. 6

   做數值驗證。 對化簡後的 $\theta$ 被積函數 $-\sin2\theta\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$ 在 $(0,\tfrac\pi2)$ 上套用 Simpson 法則得到 $0.4999999990$ ✓，與 $\tfrac12$ 吻合到小數點後八位。注意儘管對數在兩端都發散，被積函數在兩端仍然可積，因為 $\sin2\theta$ 趨於零的速度比 $\ln$ 發散的速度更快。