解微分方程式 (e 的 y 次方 加 6x) dx 加 x e 的 y 次方 dy 等於 0。

Step-by-step solution

1. 1

   替兩個係數函數命名，並檢驗正合性。 令

   $M(x,y)=e^y+6x,\qquad N(x,y)=xe^y$

   若 $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$ 成立，方程式就是正合的。這裡

   $\frac{\partial M}{\partial y}=e^y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=e^y$

   兩者相等，所以滿足 $F_x=M$ 與 $F_y=N$ 的位勢函數 $F(x,y)$ 存在——而且不需要積分因子。

2. 2

   把 $M$ 對 $x$ 積分，開始建構 $F$。 把 $y$ 視為常數，

   $F(x,y)=\int\left(e^y+6x\right)dx=xe^y+3x^2+g(y)$

   這個積分「常數」其實是一個未知的 $y$ 的函數，因為只依賴 $y$ 的東西在 $\partial/\partial x$ 之下都會消失。

3. 3

   把候選函數對 $y$ 微分，並與 $N$ 比對。

   $\frac{\partial F}{\partial y}=xe^y+g'(y)\stackrel{!}{=}N=xe^y$

4. 4

   解出這個未知函數。 兩邊消去 $xe^y$ 後剩下

   $g'(y)=0\quad\Rightarrow\quad g(y)=\text{常數}$

   對 $y$ 的依賴完全抵銷，正是正合條件帶來的好處；如果殘留了只含 $y$ 的項，在這一步直接積分掉即可。

5. 5

   把通解寫成隱式形式。 正合方程式的解都長成 $F(x,y)=C$ 的樣子：

   $xe^y+3x^2=C$

   這個任意常數把 $g$ 的常數也吸收進去了。

6. 6

   對答案微分來驗證。 對 $xe^y+3x^2=C$ 兩邊取 $d$：

   $\left(e^y+6x\right)dx+xe^y\,dy=0$

   這正是原本的方程式 ✓。（若解成顯式，在該括號內為正之處得 $y=\ln\frac{C-3x^2}{x}$。）