已知 F(x) 為 dx/(2x + 1) 的積分且 F(0) = 0，求 F((e^2 - 1)/2)。

Step-by-step solution

1. 1

   用代換 $u=2x+1$ 積分。 被積分函數是一次式的倒數，用一次代換就能解決：

   $u=2x+1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}$

   $F(x)=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$

   那個 $\tfrac12$ 是把「內層的導數」還原回來的因子；漏掉它是這類積分最常犯的錯。

2. 2

   用初始條件把積分常數定下來。 代入 $x=0$：

   $F(0)=\frac{1}{2}\ln|1|+C=0+C$

   而 $F(0)=0$ 迫使

   $C=0\qquad\Longrightarrow\qquad F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+1|$

   初始條件的作用，就是把一整族反導函數升級成唯一一個函數。

3. 3

   代入之前先把括號裡面化簡。 取 $x=\dfrac{e^2-1}{2}$，

   $2x+1=2\cdot\frac{e^2-1}{2}+1=(e^2-1)+1=e^2$

   這個看起來很彆扭的輸入值，正是刻意設計成讓 $2x+1$ 縮成 $e^2$——永遠先把對數裡面化簡。另外 $e^2>0$，所以絕對值不影響結果。

4. 4

   求值。 用 $\ln(e^2)=2$：

   $F\!\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

   $\boxed{1}$

5. 5

   用定積分交叉驗算。 因為 $F(0)=0$，答案也等於

   $\int_0^{(e^2-1)/2}\frac{dx}{2x+1}=\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^{(e^2-1)/2}=\frac{1}{2}(2-0)=1$

   數值上上限約為 $\approx 3.1945$，而 $\tfrac12\ln(2\cdot 3.1945+1)=1.0000$，確認了這個值。