求 (根號(4 − x) − 3)/(x² + 7x + 10) 在 x 趨近 −5 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   確認是不定型。 在 $x=-5$ 時分子是 $\sqrt{5+4}-3=\sqrt9-3=0$，分母是 $25-35+10=0$。所以這個商是 $\tfrac00$ 型，意思是 $(x+5)$ 這個因式同時整除上下兩式，必須先約掉才能代入。

2. 2

   把分母因式分解。 乘積為 $10$、和為 $7$ 的兩個數是 $5$ 與 $2$：

   $x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2)$

   因式 $(x+5)$ 現在露出來了；接下來的工作是在分子上造出一個相同的因式。

3. 3

   分子乘上它的共軛式。 對 $u=4-x$ 使用 $\left(\sqrt{u}-3\right)\left(\sqrt{u}+3\right)=u-9$：

   $\left(\sqrt{4-x}-3\right)\left(\sqrt{4-x}+3\right)=(4-x)-9=-x-5=-(x+5)$

   根號消失了，期待中的 $(x+5)$ 也出現了——只是帶著一個必須一路帶下去的負號。

4. 4

   約分並化簡。 這個商變成

   $\frac{-(x+5)}{(x+5)(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}=\frac{-1}{(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}$

   它對 $x\neq-5$ 成立，而那正是求極限時所檢視的去心鄰域。這個形式已在 $x=-6,-5.1,-4.9,-4$ 與原式比對過，吻合到 $10^{-8}$ ✓。

5. 5

   把值代入化簡後的式子。 它在 $x=-5$ 是連續的：

   $\frac{-1}{(-5+2)\left(\sqrt{9}+3\right)}=\frac{-1}{(-3)(6)}=\frac{1}{18}$

   兩個負號互相抵消，所以極限是正的。

6. 6

   用數值驗證。 在 $x=-5\pm10^{-5}$ 時原式的值分別是 $0.05555576$ 與 $0.05555535$，一左一右夾住 $\tfrac1{18}=0.0555556$ ✓。兩個單側極限一致，所以極限存在且等於 $\tfrac{1}{18}$。