對 y = 5cos(3x²) 就 x 微分。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是合成函數。 這個函數是「某個不只是 $x$ 的東西」的餘弦，所以必須用連鎖律。把它剝成幾層：常數倍 $5$、外層函數 $\cos(u)$，以及內層函數

   $u=3x^{2}$

   把 $\cos(3x^{2})$ 當成 $\cos x$ 那樣微分 —— 只寫出 $-\sin(3x^{2})$ —— 正是連鎖律要防的那個錯。

2. 2

   把常數提出來。 常數倍在微分時可以直接穿過去：

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\frac{d}{dx}\left[\cos\!\left(3x^{2}\right)\right]$

3. 3

   微分外層函數，內層原封不動。 由 $\frac{d}{du}\cos u=-\sin u$，連鎖律給出

   $\frac{d}{dx}\cos u=-\sin(u)\cdot\frac{du}{dx}$

   $\sin$ 的引數始終保持 $3x^{2}$ —— 內層絕不會在正弦裡面被微分。

4. 4

   微分內層函數再相乘。 由冪次法則，$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(3x^{2}\right)=6x$，因此

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\left[-\sin\!\left(3x^{2}\right)\right]\cdot6x=-30x\sin\!\left(3x^{2}\right)$

   三個數字因子 $5$、$-1$ 與 $6$ 合併成單一係數 $-30$。

5. 5

   用數值驗算。 取 $h=10^{-6}$ 的中央差分 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$，在 $x=0.4$、$1.1$ 與 $2.0$ 處都與 $-30x\sin(3x^{2})$ 吻合到 $10^{-5}$ 以內 ✓。結構性檢查也通過：在 $x=0$ 處導數為 $0$，這是對的，因為 $y=5\cos(3x^{2})$ 在該點有極大值。