求當 x 趨於 1 時 (3x³ − 2x − 1) / (5x² + 3x − 8) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先代入，看看這是哪一類極限。 直接代入永遠是第一步：

   $3(1)^3-2(1)-1=0,\qquad 5(1)^2+3(1)-8=0$

   得到的是 $\tfrac{0}{0}$，它不是答案——它是一個信號，說明這兩個多項式有公因式。

2. 2

   用因式定理。 若多項式 $p$ 滿足 $p(1)=0$，則它能被 $x-1$ 整除。我們這兩個多項式在 $x=1$ 處都為零，所以都帶著這個因式。把分子除以 $x-1$：

   $3x^3-2x-1=(x-1)(3x^2+3x+1)$

   乘回去驗證：$3x^3+3x^2+x-3x^2-3x-1=3x^3-2x-1$。

3. 3

   用同樣的辦法分解分母。

   $5x^2+3x-8=(x-1)(5x+8)$

   驗證：$5x^2+8x-5x-8=5x^2+3x-8$。兩個分解都是精確的，沒有任何近似。

4. 4

   約分——並說清為什麼這樣做合法。 $x\to 1$ 的極限只看 $x\neq 1$ 的那些點，而當 $x\neq 1$ 時因式 $x-1$ 是一個非零的數，可以放心除掉：

   $\frac{(x-1)(3x^2+3x+1)}{(x-1)(5x+8)}=\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}$

   新函數與原函數只在 $x=1$ 這一個點上不同，而極限恰恰不看這一點。

5. 5

   對約分後的分式再代入一次。 分母不再為零（$5+8=13\neq 0$），所以現在代入就管用了：

   $\lim_{x\to 1}\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}=\frac{3+3+1}{5+8}=\frac{7}{13}$

6. 6

   做個數值上的合理性檢驗。 在 $x=1.001$ 處原來的商是 $0.53895$，在 $x=0.999$ 處是 $0.53798$；兩者正好把 $\tfrac{7}{13}=0.53846$ 夾在中間，從兩側同時印證了這個值。