解一階線性微分方程式 dy/dx + 2y = e^(-x)。

Step-by-step solution

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   先確認方程式已經是線性標準式。 一階線性方程長成 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。這裡 $P(x)=2$、$Q(x)=e^{-x}$，而導數項的係數是 $1$——所以不必先兩邊同除就能開始。

2. 2

   造出積分因子。 這個方法存在的唯一目的，就是把左邊硬湊成單一個導數。能辦到這件事的因子是

   $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

   （積分常數可以省略，因為 $\mu$ 的任何非零倍數都同樣好用）。

3. 3

   兩邊同乘，把左邊收合起來。 每一項都乘上 $e^{2x}$：

   $e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}$

   左邊正好就是乘積律反過來看：

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right) = e^{x}$

4. 4

   兩邊積分一次。 左邊的導數一積就消掉，右邊則是基本積分：

   $e^{2x}y = e^{x} + C$

   任意常數 $C$ 在這裡出現，而且也只能在這裡出現——一階方程恰好帶一個。

5. 5

   解出 $y$。 兩邊除以 $e^{2x}$，也就是乘上 $e^{-2x}$：

   $y = e^{-2x}\left(e^{x} + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$

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   代回原式驗證。 取 $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$，其導數為 $y' = -e^{-x} - 2Ce^{-2x}$，所以

   $y' + 2y = \left(-e^{-x} - 2Ce^{-2x}\right) + \left(2e^{-x} + 2Ce^{-2x}\right) = e^{-x}$

   含 $C$ 的項對任何 $C$ 都相消，確認這是通解。其中 $e^{-x}$ 是特解，$Ce^{-2x}$ 則是會衰減的齊次部分。