計算在 x 與 y 都從 −R 到 R 的正方形上，x 除以 (R² + y²)(R² − x²) 的平方根之二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   把被積函數拆成含 x 的部分與含 y 的部分。 平方根可以分解，所以 $\frac{x}{\sqrt{(R^2+y^2)(R^2-x^2)}} = \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+y^2}}.$ 兩個變數之間毫無牽扯。

2. 2

   利用可分離性，把二重積分寫成乘積。 在矩形 $[-R,R]\times[-R,R]$ 上， $I = \left(\int_{-R}^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\left(\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}}\right).$ 只要其中一個因子為零，整個積分就是零——所以先檢查比較簡單的那一個。

3. 3

   確認 x 的積分是瑕積分，而且它確實收斂。 當 $x\to\pm R$ 時被積函數會發散，所以援用對稱性之前必須先確立收斂性。在 $[0,R]$ 上： $\int_0^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = \left[-\sqrt{R^2-x^2}\right]_0^{R} = 0+R = R,$ 這是個有限值。另外半邊用同樣的計算收斂到 $-R$。

4. 4

   運用奇函數對稱性。 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$ 滿足 $f(-x)=-f(x)$，而 $[-R,R]$ 對 $0$ 是對稱的。既然兩半都絕對收斂， $\int_{-R}^{R}f(x)\,dx = -R+R = 0.$

5. 5

   下結論，並注意另一個因子是有限的。 $\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}} = 2\operatorname{arsinh}(1) = 2\ln\!\left(1+\sqrt2\right)$，這是個有限的正數。有限數乘上零仍然是零： $I = 0.$

6. 6

   說明為什麼那道收斂性檢查非做不可。 若 $x$ 的積分發散（例如把被積函數換成 $\tfrac{x}{R^2-x^2}$），兩半就會分別是 $+\infty$ 與 $-\infty$，此時「奇函數在對稱區間上」並不能正當化 $0$ 這個值——那個積分根本不存在。