求 (1 − x)^k 在 x = 0 附近的泰勒級數，其中 k 為任意實數。請寫出一般項與收斂半徑。

Step-by-step solution

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   用廣義二項式定理，而不是硬算導數。 原則上馬克勞林級數是 $\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$，但手算 $f^{(n)}(x)=(-1)^{n}k(k-1)\cdots(k-n+1)(1-x)^{k-n}$ 非常費力。二項級數把同樣的結果直接打包好了：

   $(1+t)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}t^{n},\qquad \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},$

   它在 $|t|<1$ 時對任意實數 $k$ 都成立——不限於非負整數。

2. 2

   代入 $t=-x$。 只需要做這一個調整：

   $(1-x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{k}{n}x^{n}.$

   展開式裡每一個正負號，都是從 $(-1)^{n}$ 這個因子來的。

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   把前幾項寫出來。 把係數展開：

   $(1-x)^{k}=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$

   拿一個熟悉的情形對照：取 $k=-1$ 時每個係數 $(-1)^{n}\binom{-1}{n}$ 都等於 $1$，剛好還原成等比級數 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ ✓。

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   注意這個級數什麼時候會終止。 若 $k$ 是非負整數，因子 $(k-n)$ 會讓所有 $n>k$ 的 $\binom{k}{n}=0$，級數就會停下來，退化成一般的有限項二項展開——例如 $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$。至於其他的 $k$，這個級數就真的是無窮多項。

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   寫出收斂半徑並做數值驗證。 由比值審斂法，$\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{k-n}{n+1}\right||x|\to|x|$，所以級數在

   $|x|<1$

   時收斂，在 $|x|>1$ 時發散；端點的情形則取決於 $k$（當 $k>0$ 時兩個端點都收斂）。取 $k=2.5$、$x=0.3$ 做數值檢查：加總六十項得到 $0.409963413001697$，而 $(0.7)^{2.5}=0.409963413001697$ ✓。