求 (sin 3x − 3 sin x)/x³ 在 x 趨近 0 時的極限。

Step-by-step solution

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   確認是不定型，並決定要展開多深。 在 $x=0$ 時分子是 $\sin 0-3\sin 0=0$，分母是 $0$，所以這是 $0/0$。因為分母是 $x^{3}$，分子必須展開到 $x^{3}$ 階——只做到一階，只會看到最低次項互相抵消，卻看不出極限是多少。

2. 2

   把 $\sin 3x$ 展開到三階。 由 $\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$ 取 $u=3x$，

   $\sin 3x=3x-\frac{27x^{3}}{6}+O(x^{5})=3x-\frac{9}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

   $3$ 的立方讓這一項比 $\sin x$ 裡對應的那一項大上二十七倍——這個不對稱正是答案的全部來源。

3. 3

   把 $3\sin x$ 展開到同一階。

   $3\sin x=3\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+O(x^{5})=3x-\frac{1}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

4. 4

   相減。 $3x$ 這兩項剛好抵消，正如 $0/0$ 形式所預告的：

   $\sin 3x-3\sin x=\left(-\frac92+\frac12\right)x^{3}+O(x^{5})=-4x^{3}+O(x^{5}).$

5. 5

   相除後取極限。

   $\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^{3}}=-4+O(x^{2})\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;-4.$

   直接把這個商在 $x=10^{-3}$ 求值得到 $-3.999998$，在 $x=10^{-4}$ 得到 $-3.99999998$，以所預測的 $O(x^{2})$ 速率從上方逼近 $-4$。