求 y = (1/4)x¹² + 3x⁶ − x + 10 的導數。

Step-by-step solution

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   小心處理分數係數。 冪次法則會把係數乘上指數，所以 $\frac14$ 不會原封不動地留著：$\left(\frac14 x^{12}\right)^{\prime}=\frac14\cdot 12x^{11}=3x^{11}.$ 在處理其餘各項之前先把 $\frac{12}{4}=3$ 算出來，就能避開「把 $\frac14$ 留在前面」這個常見的失誤。

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   微分第二項。 $\left(3x^{6}\right)^{\prime}=3\cdot 6x^{5}=18x^{5}.$

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   微分一次項與常數項。 一次項的斜率是常數，$(-x)^{\prime}=-1$；而任何常數的導數都是零，$(10)^{\prime}=0$。因此常數 $10$ 在答案裡不留任何痕跡，這也是最後的式子不該寫出 $+0$ 的原因。

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   把各塊合併。 $y^{\prime}=3x^{11}+18x^{5}-1 .$

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   用次數做合理性檢查。 微分會讓每一項的次數恰好降一：$12\to 11$、$6\to 5$、$1\to 0$、$0\to$ 消失。結果的次數是 $11$，比原本的次數 $12$ 少一，理應如此。