求 yz 在區域 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ y² 上的三重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   看清這裡的積分次序為何被鎖死。 內層 $z$ 的上限是 $y^2$，所以 $z$ 必須在 $y$ 之前積掉——只要內層上限還依賴中間那個變數，它就不能先被消去。這個區域是拋物柱面 $z = y^2$ 下方、沿 $x$ 拉伸的立體。

2. 2

   對 z 積分。 固定 $y$：

   $\int_0^{y^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = y \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{y^5}{2}$

   被積函數的 $y$ 與上限的 $y^2$ 合起來，把次方從 $1$ 推到 $5$。

3. 3

   對 y 從 0 積到 2。

   $\int_0^2 \frac{y^5}{2}\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^6}{6}\right]_0^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$

4. 4

   對 x 積分。 剩下的東西都不依賴 $x$，所以這一步就是乘上區間長度 $2\pi$：

   $\int_0^{2\pi}\frac{16}{3}\,dx = \frac{16}{3}\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3}$

5. 5

   用互補區域驗算。 在完整長方體 $0 \le z \le 4$ 上，積分是 $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$。曲面上方那一塊，也就是 $y^2 \le z \le 4$，算出來是 $\frac{64\pi}{3}$，而

   $\frac{32\pi}{3} + \frac{64\pi}{3} = 32\pi \ \checkmark$

   所以 $\frac{32\pi}{3} \approx 33.51$ 得到確認。