設 f 是閉區間 0 到 π/2 上的正值連續函數，且 e 的 f(x) 次方乘 sin x 乘 ln f(x) 的積分，以及 e 的 f(x) 次方乘 cos x 乘 ln f(x) 的積分，都等於 0。證明開區間中存在一點 x₁ 使 f(x₁) = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   把目標改寫成 $\ln f$ 的語言。 由於 $f>0$，合成函數 $g(x)=\ln f(x)$ 在整個區間上有定義而且連續，並且

   $f(x_1)=1\iff g(x_1)=0.$

   所以要證的是 $g$ 在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 內有零點。把「取到值 $1$」的敘述轉成「有根」的敘述，正是能用上中間值定理的關鍵。

2. 2

   判定權重的正負號。 在開區間 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上有 $\sin x>0$，而 $e^{f(x)}>0$ 處處成立，因為指數函數恆正。因此權重

   $w(x)=e^{f(x)}\sin x$

   在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上嚴格為正，於是被積函數 $w(x)g(x)$ 的正負號完全由 $g$ 決定。

3. 3

   用中間值定理作反證。 假設 $g$ 在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上沒有零點。連續函數若在一個區間上沒有零點，就不可能變號——如果它同時取到正值與負值，中間值定理會逼出中間的某個零點。所以要嘛整段 $g>0$，要嘛整段 $g<0$。

4. 4

   由 $I_1=0$ 導出矛盾。 第一種情形下開區間上 $w g>0$，所以連續的被積函數在該處嚴格為正，於是

   $I_1=\int_0^{\pi/2}w(x)g(x)\,dx>0.$

   第二種情形，同樣的推理給出 $I_1<0$。無論哪一種都有 $I_1\ne0$，與前提矛盾。因此 $g$ 必定在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 內某處為零，也就是對某個 $x_1$ 有 $f(x_1)=1$。$\blacksquare$

5. 5

   說明第二個前提的作用。 這個證明只用到 $I_1=0$；$I_2=0$ 這個條件從頭到尾沒有派上用場，因為在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上 $\cos x>0$，使 $I_2$ 帶有完全相同的資訊。任一個積分單獨就足以逼出結論。真正要緊的是權重在開區間上保持同號——把 $\sin x$ 換成在 $\pi/4$ 處變號的 $\cos 2x$，論證就垮了：此時常數函數 $f\equiv e$ 給出 $\int_0^{\pi/2}e^{e}\cos 2x\,dx=0$，而 $f$ 卻從未取到 $1$。