對 y = arctan(e^(−a/2)) 就 a 微分，並化簡結果。

Step-by-step solution

1. 1

   用明確的內層變數架起連鎖律。 令

   $u=e^{-a/2},\qquad y=\tan^{-1}(u).$

   反正切的導數為 $\frac{d}{du}\tan^{-1}u=\frac{1}{1+u^{2}}$，所以

   $\frac{dy}{da}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{da}.$

2. 2

   微分指數型的內層函數。 指數對 $a$ 是線性的，斜率為 $-\tfrac12$，所以

   $\frac{du}{da}=-\frac12 e^{-a/2}.$

   因子 $-\tfrac12$ 就是這一步的全部內容；只有在指數恰好是 $a$ 時，指數函數的導數才會等於它自己。

3. 3

   把內層函數平方 —— 指數就在這裡塌縮。 因為 $\left(e^{-a/2}\right)^{2}=e^{-a}$，

   $1+u^{2}=1+e^{-a}.$

   把 $u^{2}$ 寫成 $e^{-a}$，而不是留著 $\left(e^{-a/2}\right)^{2}$，正是最後化簡得以進行的原因；先把指數減半再平方，就是答案這麼漂亮的來由。

4. 4

   組成導數。 把兩塊代進去：

   $\frac{dy}{da}=\frac{-\tfrac12 e^{-a/2}}{1+e^{-a}}=-\frac{e^{-a/2}}{2\left(1+e^{-a}\right)}.$

   對每個 $a$ 結果都是負的，這很合理：$e^{-a/2}$ 隨 $a$ 增大而遞減，而 $\tan^{-1}$ 遞增，所以合成函數必定遞減。

5. 5

   把負指數清掉來化簡，然後驗算。 分子分母同乘 $e^{a}$：

   $\frac{dy}{da}=-\frac{e^{a/2}}{2\left(e^{a}+1\right)}.$

   兩種形式的數值一致：在 $a=0.8$ 處 $y$ 的中央差分為 $-0.23125186$，而兩個封閉形式也都給出 $-0.23125186$ ✓。當 $a$ 很大時第二種形式較好，因為 $e^{-a}$ 會下溢。