求 e^(6x) 對 x 的積分。

Step-by-step solution

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   先想清楚那個係數是從哪來的。 對 $e^{6x}$ 求導會把內層導數帶出來：

   $\frac{d}{dx}e^{6x}=6e^{6x}$

   所以積分必須把這個多出來的 $6$ 抵消掉。

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   寫出法則。 對任何非零常數 $k$：

   $\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$

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   取 $k=6$ 代入。

   $\int e^{6x}\,dx=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

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   再用代換法推一遍作為交叉驗證。 令 $u=6x$，則 $du=6\,dx$，$dx=\tfrac{du}{6}$：

   $\int e^{u}\frac{du}{6}=\frac{1}{6}e^{u}+C=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

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   求導驗證。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac16 e^{6x}\right)=\tfrac16\cdot 6e^{6x}=e^{6x}$ $\checkmark$。再看數值，取 $x=0.3$：被積函數是 $e^{1.8}\approx 6.0496$，而對 $\tfrac16 e^{6x}$ 作差商也得到同樣的值 $\checkmark$。